когда сходится метод простой итерации

 

 

 

 

. Заметим, что метод простой итерации сходится, так как выполняется условие преобладания диагональных элементов: , , , . Пусть требуемая точность . Вычисления будем проводить с четырьмя знаками после десятичной точки. Рассмотрим вопрос сходимости метода простой итерации. Учитывая, что и , где норма матрицы А[18], имеем. при Следовательно, по теореме п. 4.2. метод простой итерации сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству . используя метод простых итераций. 2 Краткие теоретические сведения.Рисунок 3 Метод простых итераций. Из графиков видно, что при l(x)>0 (а, б) и при l(x)<0 (в, г) возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. В случаях (в) и (б) метод простой итерации сходится, причем, как нетрудно заметить, — при произвольном начальном приближении. Напротив, в случаях (в) и метод расходится при любом выборе начального приближения.

Рисунок 4 Геометрическая интерпретация метода простых итераций.Рисунок 5. Ситуации а и б на рисунке 5 иллюстрируют случаи, когда метод простой итерации сходится, причем, как нетрудно заметить, - при произвольном начальном приближении. Метод простой итерации. Пусть дана система n линейных уравнений с n переменнымипри определенных условиях итерационная последовательность 3 сходиться к решению системы 2 и тем самым системы 1. Метод множителей Лагранжа. Метод простой итерации.На рис.1а, 1б в окрестности корня и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай , то процесс итерации может быть расходящимся (см.

рис.2). Метод простой итерации. Заменим уравнение (1.1) равносильным уравнением.Итерационная последовательность, вообще говоря, может быть как сходящейся, так и расходящейся, что определяется видом функции . Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс.Сходимость метода простых итераций. Метод сходится, если при последовательность имеет предел. Рисунок 4 Геометрическая интерпретация метода простых итераций.Рисунок 5. Ситуации а и б на рисунке 5 иллюстрируют случаи, когда метод простой итерации сходится, причем, как нетрудно заметить, - при произвольном начальном приближении. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации. Если элементы матрицы удовлетворяют условию: , (6). то итерационная последовательность сходится к точному решению . В результате из (22) следует, что метод простой итерации сходится при. любом , принадлежащем интервалу.близка к единице, так что сходимость метода простой итерации в этом случае оказывается медленной. Если система не проходит проверку, то приближения не будут сходиться к реальному решению, и ответ получен не будет. В этом случае можно попытаться получить другую "благоприятную" форму. Если условие сходимости выполнено, то стратегия метода простых итераций Сходимость метода простой итерации.Тогда: 1) решение х системы (2.16) существует и единственно 2) при произвольном начальном приближении г(0) метод простой итерации сходится и справедлива оценка погрешности. Для того чтобы итерационный процесс метода простой итерации сходился достаточно, чтобы для всех выполнялось условие , которое можно рассматривать как критериальное. Вблизи корня итерации сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем .Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют два достоинства Для сходимости метода простой итерации достаточно , чтобы.Следовательно, итерационный процесс сходится как в чебышевской, так и в евклидовой норме. Метод простой итерации. Рассматривается система линейных алгебраических уравнений.Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы здесь не накладывается. 4. Условие остановки итерационного процесса: Рис. 2.5.

Геометрический смысл метода простой итерации.Из этой оценки вытекает, что чем ближе q к единице, тем медленнее сходится метод. Метод простой итерации уточнения корней нелинейного уравнения. Нужно решить уравнение .Тогда алгоритм метода простой итерации . Метод простой итерации сходится, если . Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом Допустим, мы нашли приближенное значение корня на итерационном шаге , тогда (Эта формула отражает алгоритм нахождения корня методом простых итераций). Проиллюстрируем этот метод графически: Итерационный процесс сходится. Методом простой итерации называют явный метод с постоянм параметром.Метод сходится для симметричных положительно определенных матриц при . Для окончания итерационного процесса используют три способа. Теорема (о достаточном условии сходимости метода простой итерации). Если , то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии. Наиболее распространены два метода: метод простой итерации и метод Ньютона.Начальные значения должны быть близкими к истинным значениям, иначе итерационный процесс может не сойтись. Метод простых итераций. Сущность этого метода заключается в следующем.1) система уравнений (1) имеет единственное решение и итерационный процесс. , n 1, 2, сходится к решению независимо от начального приближения X0 Сходящийся метод простой итерации. Расходящийся метод простой итерации. В качестве начального приближения обычно берут середину отрезка [a,b] Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула - формулой итерационного процесса метода. Если , то итерационный процесс Сходящийся . Рисунок 6 Частный случай сходимости метода простой итерации. где Из этого соотношения следует, что скорость сходимости метода итерации зависит от величины q: чем меньше q, тем быстрее сходится метод. . В результате из формулы следует, что метод простой итерации сходится при любом , принадлежащем интервалу. . Дальнейшее исследование метода простой итерации построим на конкретном анализе рекуррентной формулы . Метод простой итерации. В основе метода заложено понятие сжимающего отображения.итерационная последовательность сходится к этому корню для очередного члена справедливо . Поясним смысл параметра . Теорема (достаточное условие сходимости метода простой итерации ). Итерационный процесс (2.16) сходится к решению СЛАУ со скоростью геометрической прогрессии при выполнении условия Метод простой итерации. В основе метода заложено понятие сжимающего отображения.итерационная последовательность сходится к этому корню для очередного члена справедливо . Поясним смысл параметра . Теорема 2. (о достаточном условии сходимости метода простых итераций). Метод простых итераций, реализующийся на основании алгоритма (3), сходится к единственному решению системы (2) Метод простой итерации (метод последовательных повторений).Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду . Сходимость метода простой итерации.Известно следующее достаточноеусловие сходимости метода простой итерации.то итерационная последовательность сходится к точному решению . Итерационные методы решения линейных систем. Метод простой итерации.Метод Зейделя для системы x Hx g совпадает с методом итерации для системы. Необходимые и достаточные условия сходимости метода простой итерации. Рубрика (тематическая категория). Математика. Скорость сходимости метода простой итерации зависит от величины в условии (3.8): чем меньше , тем быстрее сходятся итерации. В этом методе важен также выбор начального приближения корня . УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1 Если последовательность x(k) метода простой итерации сходится и функция непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x(x). Метод простой итерации. Сходится, если для какойто согласованной матричной нормы Сходится тогда и только тогда, когда Сходится к своей неподвижной точке 2.2.3.3. Сходимость метода простой итерации. 19. 2.2.3.4. Апостериорная оценка погрешности. 22. 2.2.3.5. Алгоритм метода простой итерации.которое имеет смысл невязки, полученной на n-ой итерации. Метод деления отрезка пополам всегда сходится, прост и. Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом последовательных приближений. т.е. такой итерационный процесс всегда сходится. Метод Ньютона представляет собой частный случай метода простых итераций. Здесь нетрудно убедиться, что при существует окрестность корня, в которой . Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если положить . Тогда следовательно, сходится. (т.к. для простых итераций условие сходимости ). Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. Он может сходиться даже в том случае, если расходится процесс итерации. Однако это бывает не всегда. В случае метода простых итераций: , то есть скорость сходимости линейная. Несмотря на схожесть выражений для метода хорд и секущих скорость их сходимости различна, так для метода хорд получим разлагая выражение для в точке в ряд Тейлора и ограничиваясь тремя Теорема о сходимости: если исходная матрица системы имеет диагональное преобладание (т.е, в каждой строке элементы главной диагонали должны быть больше по модулю, чем сумма элементов побочных диагоналей по модулю), то метод простых итераций - сходящийся. Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом Сходимость метода простой итерации устанавливает следующая теорема.1) процесс итерации сходится независимо от начального значения 2) предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке .

Новое на сайте:


 

 

 

© 2018